∂
2
σ
ρ
∂ρ∂ϕ
+
ρ
∂
2
F
(
ρ
)
∂ρ
2
+ 4
∂F
(
ρ
)
∂ρ
sin
ϕ
= 0
.
(6)
Вычитая из уравнения (6) уравнение (5), получаем уравнение
ρ
∂
2
F
(
ρ
)
∂ρ
2
+ 4
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+ 2
F
(
ρ
)
ρ
sin
ϕ
= 0
,
(7)
которое после умножения на
ρ
и сокращения
sin
ϕ
получает вид
ρ
2
∂
2
F
(
ρ
)
∂ρ
2
+ 4
ρ
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+ 2
F
(
ρ
) = 0
.
(8)
Исследуем это однородное дифференциальное уравнение второго
порядка, представив его структуру как
ϕ
1
(
ρ
)
∂
2
F
(
ρ
)
∂ρ
2
+
ϕ
2
(
ρ
)
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+
ϕ
3
(
ρ
)
F
(
ρ
) = 0
,
(9)
где
ϕ
1
(
ρ
) =
ρ
2
,
ϕ
2
(
ρ
) = 4
ρ
,
ϕ
3
(
ρ
) = 2
.
Сначала находим
∂ϕ
1
(
ρ
)
∂ρ
= 2
ρ
;
∂
2
ϕ
1
(
ρ
)
∂ρ
2
= 2;
∂ϕ
2
(
ρ
)
∂ρ
= 4
.
(10)
Поскольку
∂ϕ
2
(
ρ
)
∂ρ
−
∂
2
ϕ
1
(
ρ
)
∂ρ
2
=
ϕ
3
(
ρ
)
,
(11)
то, следовательно, уравнение (9) является уравнением в полных диф-
ференциалах и может быть сведено куравнению первого порядка,
имеющему вид [3, с. 145]
ϕ
1
(
ρ
)
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+
ϕ
2
(
ρ
)
−
∂ϕ
1
(
ρ
)
∂ρ
F
(
ρ
) =
C
(12)
или
ρ
2
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+ 2
ρF
(
ρ
) =
C,
(13)
где
С
— произвольная постоянная.
Разделив уравнение (13) на
ρ
2
, получим линейное уравнение
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+
2
ρ
F
(
ρ
) =
C
ρ
2
.
(14)
Это уравнение имеет структуру
∂F
(
ρ
)
∂ρ
+ Φ
1
(
ρ
)
F
(
ρ
) = Φ
2
(
ρ
)
,
(15)
где
Φ
1
(
ρ
) = 2
/ρ
,
Φ
2
(
ρ
) =
С
/ρ
2
.
48 ISSN 0236-3941. ВестникМГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
