C
1
=
σ
s
R
(
R
+ 2
μ
1
)
√
3(
R
−
1)
.
(21)
При необходимости с помощью полученной формулы (19) и урав-
нения (33) (с учетом равенств (29)–(31)) из работы [1] можно кон-
кретизировать функцию
f
(
ρ
)
, получив явные поля скоростей, строго
согласованные с касательными напряжениями и коэффициентом тре-
ния
μ
1
.
Подставив равенство (18) в уравнение (3), получим
∂σ
ρ
∂ρ
+ 2
Cρ
+
C
1
ρ
3
cos
ϕ
−
2
σ
s
ρ
= 0
,
(22)
откуда
σ
ρ
= 2
σ
s
ln
ρ
+
2
Cρ
+
C
1
ρ
2
cos
ϕ
+
f
4
(
ϕ
) +
C
2
.
(23)
Подставив теперь равенство (18) в уравнение (4), получим
∂σ
ρ
∂ϕ
=
−
2
Cρ
+
C
1
ρ
2
sin
ϕ,
(24)
откуда
σ
ρ
=
2
Cρ
+
C
1
ρ
2
cos
ϕ
+
f
5
(
ρ
) +
C
2
.
(25)
Сравнивая выражения (23) и (25), видим, что
f
4
(
ϕ
) = 0
,
f
5
(
ρ
) = 2
σ
s
ln
ρ.
(26)
С учетом этого
σ
ρ
= 2
σ
s
ln
ρ
+
2
С
ρ
+
С
1
ρ
2
cos
ϕ
+
C
2
.
(27)
Из условия пластичности (1)
σ
ϕ
=
σ
s
+ 2
σ
s
ln
ρ
+
2
Cρ
+
C
1
ρ
2
cos
ϕ
+
C
2
.
(28)
Произвольную постоянную
С
2
находим из граничного условия
σ
ϕ
=
q
с
при
ϕ
= 90
◦
и
ρ
= 1
:
C
2
=
q
c
−
σ
s
.
(29)
Дадим небольшое пояснение. В силу того что выражение (28) за-
висит от координаты
ρ
, удовлетворить условие
σ
ϕ
=
q
с
во всех точках
горизонтальной границы между областями
1
и
2
невозможно. Поэтому
с учетом предстоящей минимизации силы процесса в целях нахожде-
ния радиуса
R
, для обеспечения равенства мы выбрали точку
ρ
= 1
,
исключив тем самым вхождение в произвольную постоянную
С
2
гро-
моздких выражений, содержащих искомый параметр
R
. В принципе,
50 ISSN 0236-3941. ВестникМГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
