уравнений, равны между собой:
A
i
=
B
i
=
C
i
=
D
i
=
G
i
=
F
=
= (
r
f,
r
f
)
α/
2
+
ε
,
i
2 {
x, y, z
}
. Граничные условия, необходимые для
решения данной системы уравнений, задаются следующим образом:
U
i
|
Г
=
r
i
|
∂
(
A
0
B
0
F
0
E
0
D
0
C
0
G
0
H
0
)
−
r
i
|
∂
(
ABFEDCGH
)
,
i
2 {
x, y, z
}
, где символ
∂
означает, что компоненты радиусов-векторов
~r
и
~r
определяются
на границе соответствующей области.
При этом
f
является функцией, управляющей адаптацией расчет-
ных узлов, коэффициент
α
задает необходимую степень сгущения уз-
лов расчетной сетки. Коэффициент
σ
2
[
−
1
,
1]
характеризует отно-
шение поперечной деформации к продольной. Коэффициент
λ
i
>
0
увеличивает “диффузию” сеточных линий от границы внутрь расчет-
ной области
A
0
B
0
F
0
E
0
D
0
C
0
G
0
H
0
, обеспечивая нахождение узлов сетки
внутри расчетной зоны. Параметр
ε
≈
min
h
i
2
A
0
B
0
C
0
D
0
(
h
i
)
выбирается не
равным нулю (
ε
6
= 0
) и порядка шага сетки
h
, чтобы избежать осо-
бенности в тех узлах, где
r
f
= 0
. Эта система уравнений является
обобщением метода построения регулярных сеток [1] в случае пере-
менных коэффициентов
A
i
, B
i
, C
i
, D
i
, G
i
,
i
2 {
x, y, z
}
, входящих под
производные и трехмерную систему координат.
В результате решения системы уравнений (1) можно построить
неравномерную сетку в криволинейном параллелепипеде (гексаэдре)
A
0
B
0
F
0
E
0
D
0
C
0
G
0
H
0
, в котором поверхности, определяющие форму гра-
ницы деформированной области, задаются гладкими функциями в си-
стеме координат
XY Z
. При этом расположение узлов расчетной сет-
ки на граничных поверхностях задаeтся до начала решения задачи.
Введем в системе координат
XY Z
равномерную прямоугольную сет-
ку с узлами
x
i
, y
j
, z
m
(
i
= 1
, . . . , L
;
j
= 1
, . . . , M
;
m
= 1
, . . . , N
) и
постоянными пространственными шагами
{
h
x
, h
y
, h
z
}
, которые вхо-
дят в состав управляющих параметров и выбираются из минималь-
ных значений шагов сетки вдоль граничных поверхностей. Зададим
конечно-разностное представление производных на введенной сетке с
помощью следующих формул [2]:
∂
∂x
a
∂g
∂x
i,j,m
=
=
a
i
+1/2
,j,m
(
g
i
+1
,j,m
−
g
i,j,m
)
−
a
i
−
1/2
,j,m
(
g
i,j,m
−
g
i
−
1
,j,m
)
h
2
x
+
O h
2
x
;
a
i
±
1/2
,j,m
=
a
i,j,m
+
a
i
±
1
,j,m
2
;
∂
∂x
a
∂g
∂y
i,j,m
=
=
a
i
+1
,j,m
(
g
i
+1
,j
+1
,m
−
g
i
+1
,j
−
1
,m
)
−
a
i
−
1
,j,m
(
g
i
−
1
,j
+1
,m
−
g
i
−
1
,j
−
1
,m
)
4
h
x
h
y
+
+
O h
2
x
, h
2
y
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 5
