где
ˉ
σ
[
K
]
T
= ˉ
β
т
[
K
]
ˉ
E
0
K
ˉ
ε
0
[
K
]
T
;
ˉ
σ
[
K
]
T
= [
σ
[
K
]
1
T
, σ
[
K
]
2
T
,
0]
;
ˉ
ε
0
[
K
]
T
= [
α
0
1[
K
]
Δ
T, α
0
2[
K
]
Δ
T,
0]
т
;
ˉ
β
[
K
]
= ˉ
β
т
[
K
]
cos
2
ϕ
K
sin 2
ϕ
K
sin
ϕ
K
cos
ϕ
K
sin
2
ϕ
cos
2
ϕ
−
sin
ϕ
K
cos
ϕ
K
−
sin 2
ϕ
K
sin 2
ϕ
K
cos 2
ϕ
K
;
ˉE
0
[
K
]
=
E
[
K
]
1
μ
[
K
]
21
E
[
K
]
1
0
μ
[
K
]
21
E
[
K
]
1
E
[
K
]
1
0
0
0
G
[
K
]
12
.
Для равновесного состояния отдельного КЭ запишем формулиров-
ку принципа возможных перемещений:
2
π
l
Z
0
(
δ
E
т
N
−
δ
U
т
p)
rdx
−
2
πδ
q
т
R = 0
,
(10)
где
l
— длина КЭ вдоль образующей;
δ
E = [
δε
1
, δε
2
, δγ
12
, δκ
1
, δκ
2
, δχ
12
]
т
— вектор обобщенных возможных деформаций;
δ
U = [
δu,δw,δν
]
т
— вектор возможных перемещений;
N = [
N
1
, N
2
,
N
12
, M
1
, M
2
, M
12
]
т
— вектор внутренних силовых фак-
торов;
p = [
p
u
, p
w
, p
v
]
т
— вектор распределенных поверхностных
касательных и нормальных сил;
δ
q = [
δu
r
1
, δu
z
1
, δv
1
, δω
1
, δu
r
2
, δu
z
2
, δv
2
, δω
1
]
т
— глобальные узловые
степени свободы;
R = [
r
1
N
r
1
, r
1
N
z
1
, r
1
N
12
, r
1
M
ω
1
, r
2
N
r
2
, r
2
N
z
2
, r
2
N
12
,
r
2
M
ω
2
]
т
— вектор
обобщенных узловых реакцией.
Запишем уравнение (10) в развернутом виде с учетом соотношений
упругости (9) и аппроксимации деформаций (5):
δ
a
т
(K
a
a + P
0
a
−
P
Ta
−
P
a
)
−
δ
q
т
R = 0
,
(11)
где
K
a
=
l
Z
0
B
т
a
DB
a
rdx
;
P
0
a
=
l
Z
0
B
т
a
N
0
rdx
;
P
Ta
=
l
Z
0
B
т
a
N
T
rdx
;
P
a
=
l
Z
0
Φ
т
a
p
rdx
.
Выполним в уравнении (11) две замены неизвестных. Сначала пе-
рейдем от коэффициентов аппроксимации
a
к локальным узловым
степеням свободы
q = [
u
r
1
, u
z
1
, v
1
, ω
1
, u
r
2
, u
z
2
, v
2
, ω
2
,
]
т
,
где
ω
1
=
w
0
(
x
= 0)
;
ω
2
=
w
0
(
x
=
l
)
.
Для этого воспользуемся аппроксимацией (4) и составляем урав-
нение
Ta = q
л
,
(12)
84 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1
