11 / 15
Граничные условия при
ϑ
= 90
◦
:
U
1
,k
= 0
;
S
∗
k
= 0
;
θ
1
,k
= 0
;
Q
∗
1
,k
=
q
k
/2
, где
S
∗
k
=
S
k
+ 2
H
k
/
R
;
Q
∗
1
,k
=
Q
1
,k
+
H
k
k
/
R
sin
ϑ
.
Очевидно, что при больших значениях угла
γ
(в частности при
осесимметричной нагрузке) изменяемость моделируемого напряжен-
ного состояния оболочки по координате
ϑ
превышает изменяемость
по координате
ϕ
, что соответствует основной гипотезе математиче-
ской модели простого краевого эффекта. При увеличении локализа-
ции внешней нагрузки, ввиду роста изменяемости напряженного со-
стояния вдоль линии ее приложения, следует ожидать увеличения по-
грешности используемой модели краевого эффекта и, как следствие,
асимптотической модели. Это позволяет оценить максимальные зна-
чения погрешности асимптотической модели при краевой нагрузке.
Эквивалентные математические модели должны одинаково опи-
сывать механику деформирования оболочки при одной и той же на-
грузке. Таким образом, вычисляемые согласно этим моделям значения
параметров, характеризующих напряженно-деформированное состоя-
ние оболочки, должны совпадать. Однако при наличии погрешности
эти значения будут разниться.
Выполним серию расчетов для различных значений угла
γ
и со-
отношения
R
/
h
. Значения параметров напряженно-деформированного
состояния будем определять с точностью до третьей значащей цифры
суммированием старших (
k >
0
) гармоник рядов Фурье искомых па-
раметров.
Расчеты при
R
/
h
= 100
и
γ
= 45
◦
показывают практически полное
совпадение значений внутренних силовых факторов. Значение несо-
ответствий
δf
=
|
1
−
f/f
∗
| ∙
100
% составляет не более 3%;
f
,
f
∗
—
значения внутренних силовых факторов, вычисленные с использова-
нием асимптотической (АР) и эталонной (ЭР) моделей. Здесь и далее
символом
∗
обозначаем эталонные значения.
С ростом локализации нагрузки наблюдается рост
δf
. На рис. 2
приведены распределения внутренних силовых факторов вдоль нуле-
вого меридиана (
ϕ
= 0
) при
R
/
h
= 100
и
γ
= 10
◦
. Видны наруше-
ния распределений и несоответствия максимальных значений силовых
факторов:
δM
1
= 21
%,
δM
2
= 12
% ,
δN
1
= 33
%,
δN
2
= 25
%.
С ростом толщины оболочки также наблюдается рост несоответ-
ствий. На рис. 3 приведены распределения внутренних силовых фак-
торов вдоль нулевого меридиана при
R
/
h
= 10
и
γ
= 45
◦
. Несо-
ответствия максимальных значений силовых факторов:
δM
1
= 18
%,
δM
2
= 36
%,
δN
1
= 6
%,
δN
2
= 12
%.
Для более тонких оболочек напротив происходит уменьшение не-
соответствий. Распределения внутренних силовых факторов вдоль ну-
левого меридиана при
R
/
h
= 400
и
γ
= 10
◦
представлены на рис. 4.
Несоответствия максимальных значений силовых факторов в этом слу-
чае:
δM
1
= 1
%,
δM
2
= 7
%,
δN
1
= 10
%,
δN
2
= 4
%.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 129