3 / 15
Здесь и далее будем предполагать, что выполнено разделение пере-
менных методом Фурье — в предположении симметричности внешней
нагрузки на оболочку относительно начала координаты
ϕ
, выполнено
разложение параметров задачи в тригонометрические ряды вида
f
(
ϑ, ϕ
) =
∞
X
k
=0
f
k
(
ϑ
) cos
kϕ
— для симметричных по
ϕ
величин;
f
(
ϑ, ϕ
) =
∞
X
k
=1
f
k
(
ϑ
) sin
kϕ
— для антисимметричных по
ϕ
величин.
Тогда уравнения (1) сведутся к виду
dU
1
,k
dϑ
+
U
3
,k
= 0;
k
sin
ϑ
U
2
,k
+
U
1
,k
ctg
ϑ
+
U
3
,k
= 0;
−
k
sin
ϑ
U
1
,k
+
U
2
,k
ctg
ϑ
+
dU
2
,k
dϑ
= 0
.
Решение этой системы с учетом ограниченности в полюсе сферы
U
(M)
1
,k
=
U
(M)
2
,k
=
C
1
,k
sin
ϑ
tg
k
ϑ/
2;
U
(M)
3
,k
=
−
C
1
,k
[
k
+ cos
ϑ
] tg
k
ϑ/
2
,
(2)
где
C
1
,k
— произвольная постоянная интегрирования.
После подстановки (2) в геометрические уравнения для компонент
изгибной деформации теории оболочек
χ
1
,k
=
1
R
dθ
1
,k
dϑ
;
χ
2
,k
=
1
R
1
sin
ϑ
[
θ
1
,k
cos
ϑ
+
kθ
2
,k
] ;
τ
k
=
−
1
R
1
sin
ϑ
kθ
1
,k
+
θ
2
,k
cos
ϑ
−
1
R
dU
2
,k
dϑ
sin
ϑ
;
θ
1
,k
=
1
R
U
1
,k
−
dU
3
,k
dϑ
;
θ
2
,k
=
1
R
U
2
,k
+
k
sin
ϑ
U
3
,k
,
(3)
получим
χ
(M)
1
,k
=
C
1
,k
k
(
k
2
−
1)
tg
k
ϑ
/2
R
2
sin
2
ϑ
;
χ
(M)
2
,k
=
τ
(M)
k
=
−
χ
(M)
1
,k
;
θ
(M)
1
,k
=
C
1
,k
k
[
k
+ cos
ϑ
]
tg
k
ϑ
/2
R
sin
ϑ
.
(4)
Изгибающие и крутящий моменты определим из физических урав-
нений
M
i,k
=
D
(
χ
i,k
+
μχ
j,k
)
,
H
k
= (1
−
μ
)
Dτ
k
(
i, j
= 1
,
2
,
i
6
=
j
;
D
=
Eh
3
/12(1
−
μ
2
)
— цилиндрическая жесткость), исключая дефор-
мации (4):
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 121