4 / 15
M
(M)
1
,k
=
C
1
,k
D
(1
−
μ
)
k
(
k
2
−
1)
tg
k
ϑ
/2
R
2
sin
2
ϑ
;
M
(M)
2
,k
=
H
(M)
k
=
−
M
(M)
1
,k
.
(5)
Замечено [1], что подстановка (5) в уравнения равновесия элемен-
та срединной поверхности оболочки приводит к равенствам
Q
1
,k
=
=
Q
2
,k
= 0
. Таким образом, полученное решение позволяет опреде-
лить только моменты. Поэтому его принято называть чисто момент-
ным и приписывать верхний индекс
(M)
.
Далее предположим
Q
1
,k
=
Q
2
,k
= 0
. Тогда силовые уравнения
равновесия элемента срединной поверхности оболочки [1] примут вид
системы
dN
1
,k
dϑ
+ (
N
1
,k
−
N
2
,k
) ctg
ϑ
+
k
sin
ϑ
S
k
= 0;
dS
k
dϑ
+ 2
S
k
ctg
ϑ
−
k
sin
ϑ
N
2
,k
= 0;
N
1
,k
+
N
2
,k
= 0
,
решение которой, с учетом ограниченности сил в полюсе сферы
N
(
Б
)
1
,k
=
C
2
,k
tg
k
ϑ
/2
sin
2
ϑ
;
N
(
Б
)
2
,k
=
S
(
Б
)
k
=
−
N
(
Б
)
1
,k
,
(6)
где
C
2
,k
— произвольная постоянная интегрирования.
Перемещения точек срединной поверхности оболочки опреде-
лим из физических уравнений
ε
i,k
= (
N
i,k
−
μN
j,k
)/
Eh
,
ω
k
= 2(1 +
+
μ
)
S
k
/
Eh
(
i, j
= 1
,
2
,
i
6
=
j
) и геометрических уравнений для
компонент тангенциальной деформации с учетом (6)
ε
(
Б
)
1
,k
=
1
R
dU
1
,k
dϑ
+
U
3
,k
=
1 +
μ
Eh
N
(
Б
)
1
,k
;
ε
(
Б
)
2
,k
=
1
R
U
1
,k
ctg
ϑ
+
k
sin
ϑ
U
2
,k
+
U
3
,k
=
−
1 +
μ
Eh
N
(
Б
)
1
,k
;
ω
(
Б
)
k
=
−
1
R
k
sin
ϑ
U
1
,k
−
dU
2
,k
dϑ
+
U
2
,k
ctg
ϑ
= 2
1 +
μ
Eh
S
(
Б
)
k
.
(7)
Решением данной системы является сумма любого ее частного и
общего решений однородных дифференциальных уравнений, описы-
вающих деформирование оболочки без растяжения срединной поверх-
ности.
Частное решение системы (7) имеет вид
U
(
Б
)
1
,k
=
−
U
(
Б
)
2
,k
=
C
1
,k
(1 +
μ
)
R
2
Eh
η
k
sin
ϑ
tg
k
ϑ
/2;
U
(
Б
)
3
,k
=
C
1
,k
(1 +
μ
)
R
2
Eh
k
+ cos
ϑ
k
(
k
2
−
1)
tg
k
ϑ
/2
,
(8)
122 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3