5 / 15
где
η
k
=
tg
2
ϑ
/2
2(
k
+ 1)
+
ctg
2
ϑ
/2
2(
k
−
1)
+
1
k
.
Общее решение системы (7) получено авторами (см. (2)).
Из (3) с учетом (8) следует, что
θ
(
Б
)
1
,k
=
C
1
,k
1 +
μ
2
Eh
k
+ cos
ϑ
k
2
−
1
tg
k
ϑ
/2
sin
ϑ
.
(9)
Далее, с учетом (8) аналогичным (5) способом могут быть найдены
моменты
M
(
Б
)
1
,k
,
M
(
Б
)
2
,k
,
H
(
Б
)
k
. Однако можно показать, что для тонких
оболочек тангенциальные силы имеют более высокий порядок, чем
моменты. Таким образом, моментами, полученными согласно переме-
щениям (8), можно пренебречь.
Для получения решения типа простой (по А.Л. Гольденвейзеру)
краевой эффект делается ряд предположений, позволяющих упростить
уравнения равновесия и геометрические уравнения теории оболочек.
В частности предполагается, что изменяемость напряженного состоя-
ния в направлении нормали к краю оболочки существенно выше, чем
вдоль края — дифференцирование по
ϕ
, если и приводит к увеличению
искомых функций
f
, то не к такому значительному, как дифференци-
рование по
ϑ
, т.е.
|
∂f
/
∂ϑ
|
|
∂f
/
∂ϕ
|
,
|
∂f
/
∂ϑ
|
|
f
|
.
Решению по теории простого краевого эффекта принято приписы-
вать верхний индекс
(
К
)
.
Воспользовавшись [1], запишем известные соотношения теории
N
(К)
1
,k
=
−
P
R
3
d
3
U
(К)
3
,k
dϑ
3
ctg
ϑ
;
N
(
К
)
2
,k
=
Eh
R
U
(
К
)
3
,k
;
Q
(
К
)
1
,k
=
−
D
R
3
d
3
U
(
К
)
3
,k
dϑ
3
;
S
(
К
)
k
=
−
D
R
3
k
sin
ϑ
d
3
U
(
К
)
3
,k
dϑ
3
;
M
(
К
)
1
,k
=
−
D
R
2
d
2
U
(
К
)
3
,k
dϑ
2
;
M
(
К
)
2
,k
=
μM
(
К
)
1
,k
(10)
и разрешающее уравнение
d
4
U
(
К
)
3
,k
.
dϑ
4
+ 4
λ
4
U
(
К
)
3
,k
= 0
, где
λ
4
=
=
EhR
2
/4
D
, решением которого в рассматриваемом случае является
U
(
К
)
3
,k
=
e
−
λ
(
ϑ
0
−
ϑ
)
{
C
3
,k
cos [
λ
(
ϑ
0
−
ϑ
)] +
C
4
,k
sin [
λ
(
ϑ
0
−
ϑ
)]
}
,
(11)
где
ϑ
0
— меридиональная координата края оболочки. Учтено, что в [1]
рассматривается оболочка с толщиной стенки
2
h
.
Угол поворота определим с учетом принятых гипотез из геометри-
ческих уравнений (3)
θ
(
К
)
1
,k
=
−
dU
(
К
)
3
,k
.
Rdϑ.
(12)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 123