5 / 14
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2016. № 3
27
базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. При
удачном выборе базиса хорошие результаты получаются уже при срав-
нительно небольшом числе
s
. Но в общем случае с конечным
s
приме-
нение метода приводит лишь к принципиально приближенному реше-
нию. Здесь использованы следующие разложения:
φ
φ
w w
w l s
t
B D
2
ψ
f
;
φ
φ
w w
w l s
v
A C
4
ψ,
f
(6)
где φ =
wls
,
, ,
, ,
;
П ;
w l s W L S
Н
sin
sin
,
1
;
H lr L
sz LZ f
l
s
cos
,
sin
;
,{ }.
w
w
w
w
v t
(7)
Здесь П
φ
, П
ϑ
— функциональные коэффициенты, вводимые для выпол-
нения граничных условий; зависят от координат и в общем случае от
{
l
,
s
}.
Подстановка (6) в уравнения (3) и (4), дифференцирование и пере-
разложение выражений в левых частях уравнений приводило к рядам
использованного типа, но с гораздо более сложной структурой коэф-
фициентов. Наконец, после приравнивания таких коэффициентов их
значениям в правых частях (нулевым) относительно {
A
φ
,
C
φ
}, {
B
φ,
D
φ
}
получались бесконечные системы уравнений, для которых была дока-
зана возможность редукции [12, 13]. Так, решение поставленной зада-
чи было сведено к анализу определителей
(Ra) конечного, хотя и до-
статочно большого порядка. Значения таких определителей, в силу не-
тривиальности решения обращаемых в нуль при искомых значениях
Ra, вычислялись с привлечением внешней памяти ПК — с последова-
тельным исключением групп переменных, с применением обращения
матриц;
(Ra) — сложная функция, часто с большим диапазоном аб-
солютных значений в пределах даже весьма узкого интервала измене-
ния ее знака. Функции
v
и
t
также чувствительны к изменению Ra, но
в меньшей степени.
В целях компактности пояснений для {Ra
кр
}, критических чисел
Рэлея использованы обозначения c четырьмя аргументами — индекса-
ми типа
psn
R
или
.
psn
R
Индекс
p
— геометрическая характеристика
полости, убывающая с ростом
Z
; значения
p
= 1, …, 5 последовательно
соответствуют величинам
Z
{
4; 2; 1; 0,5; 0,25}. Индекс
1, 2
от-
мечает род боковых граничных условий для
Т
;
s
{1, …,
s
max
= 5} —
порядковый (по возрастанию) номер Ra
кр
при выбранных
p
и
; надеж-
нее и практически более интересны значения Ra
кр
при
s
< 4. Наконец,