К расчету главного вектора и главного момента сил светового давления на солнечный парус

5 / 12

Используя выражения (5), из (1) получаем
dF = P (R ) −a1(γ)(ˆn ∙ ˆs)ˆs + a2(γ)(ˆn ∙ ˆs)ˆn − 2a3( γ)(ˆn ∙ ˆs)2 ˆn dA, (6)
и аналогично для момента —
dM = P (R) h−a1(γ)(ˆn ∙ ˆs)(r × ˆs)+
+ a2(γ )(ˆn ∙ ˆs)(r × ˆn) − 2a 3(γ)(ˆn ∙ ˆs)2(r × ˆn)i dA. (7)
Главный вектор и главный момент светового давления. Запи-
шем выражение для силы светового давления на парус, проинтегри-
ровав (6) по всей поверхности паруса:
F = P (R) ZA −a1(γ)(ˆn ∙ ˆs)ˆs + a2(γ)(ˆn ∙ ˆs)ˆn − 2a3 (γ)(ˆn ∙ ˆs)2 ˆn dA.
(8)
Представим в компонентной форме выражения (ˆn ∙ ˆs)ˆn в проекции
на ось Oxk:
(ˆn ∙ ˆs)ˆn ∙ ˆek = nisi nj ˆej ∙ ˆek = ni si nj δjk = nin ksi, (9)
где по повторяющимся индексам производим суммирование, а δjk —
символ Кронекера. Заметим, что выражение nin k является компонент-
ной записью следующего диадного произведения:
˜
J 2 = ˆn ⊗ ˆn,
отсюда, используя (9), получаем
(ˆn ∙ ˆs)ˆn = ˜J 2 ∙ ˆs. (10)
Покажем, что ˜
J2 является тензором. Вводя замену базиса ˆei = αij ˆej ,
получаем
˜
J 2
ij = n i nj = αiknkαjlnl = αikαil ˜
J2
kl,
откуда можно сделать однозначный вывод, что ˜
J 2 является тензором
второго ранга [15].
Представим аналогичным способом проекцию выражения (ˆn ∙ ˆs)2 ˆn
на ось Oxk:
(ˆn ∙ ˆs)2ˆn ∙ ˆek = nisi n jsj n pˆep ∙ ˆek = ni njn ksisj . (11)
Введем следующую полиаду:
˜
J 3 = ˆn ⊗ ˆn ⊗ ˆn.
Тогда, используя (11), получаем
(ˆn ∙ ˆs)2 ˆn = ˆs ∙ ˜
J 3 ∙ ˆs. (12)
Аналогично ˜
J2 возможно доказать, что ˜
J3 является тензором
третьего ранга.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 1 21