+
1
3!
∂
3
Y
∂ξ
3
i
[
ξ
−
ξ
i
]
3
+
1
4!
∂
4
Y
∂ξ
4
i
[
ξ
−
ξ
i
]
4
−
2
5!
∂
4
Y
∂ξ
4
i
Δ
ξ
2
5
+
+
1
5!
∂
5
Y
∂ξ
5
i
[
ξ
−
ξ
i
]
5
+
1
6!
∂
6
Y
∂ξ
6
i
[
ξ
−
ξ
i
]
6
−
2
7!
∂
4
Y
∂ξ
4
i
Δ
ξ
2
7
)
.
Входящие в кусочно-полиномиальные распределения
Y
(
ξ
)
про-
странственные производные
∂Y
∂ξ
i,j
вычисляются следующим
образом.
Сначала для дискретной функции
Y
i
определим приближенное зна-
чение
F
i
первой частной производной по пространственной перемен-
ной
ξ
с восьмым порядком точности.
Для этого в каждой ячейке с номером
i
для каждой восстанавлива-
емой величины
Y
i,j
рассчитывается индекс немонотонности
Ind
(
Y
)
:
Ind
(
Y
)
i
=
1
12
|−
Y
i
+2
,j
+ 16
Y
i
+1
,j
−
30
Y
i,j
+ 16
Y
i
−
1
,j
−
Y
i
−
2
,j
|
1
2
−
Y
i
+2
,j
+4
Y
i
+1
,j
−
3
Y
i,j
+
1
2
3
Y
i,j
−
4
Y
i
−
1
,j
+
Y
i
−
2
,j
+
θ
,
где
θ
— малый параметр.
Далее найдем первую производную
f
по переменной
ξ
по обычной
аппроксимационной формуле второго порядка точности и выполним
ее “монотонное ограничение” на сетке:
Ind
(
Y
)
i
= 1
∙
Ind
(
Y
)
i
+ 2
∙
[1
−
Ind
(
Y
)
i
] ;
f
i
=
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
2Δ
,
˜
f
i
=
sign
(
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
) min
Ind
(
Y
)
i
+1
|
f
i
+1
|
,
|
f
i
|
, Ind
(
Y
)
i
−
1
|
f
i
−
1
|
,
где
Δ
— шаг пространственной сетки в направлении
ξ
. Тогда прибли-
женное “монотонизованное” значение
˜
F
i
первой частной производной
по пространственным переменным
ξ
с ошибкой аппроксимации на
уровне
F
i
=
∂
∂ξ
+
Δ
6
2100
+
O
(Δ
8
)
можно найти по формуле (т.е. путем
решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей):
Q
i
=
E
+
Δ
2
30
˜
f
i
,
e
F
i
=
(
E
+
Δ
2
6
−
1
Q
i
)
i
;
F
i
=
sign
(
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
) min ˜
F
i
+1
,
˜
F
i
,
˜
F
i
−
1
;
F
i
=
F
i
+
sign
(
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
)
∙
[1
−
Ind
(
Y
)
i
]
∙
e
F
i
−
F
i
,
12 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 1
