где
Δ
0
f
i
=
f
i
+1
−
f
i
−
1
,
Δ
2
f
i
=
f
i
+1
−
2
f
i
+
f
i
−
1
,
E
— единичный
оператор. Отметим, что приведенная формула является симметричной
конечной разностью шестого порядка точности [7]. Это форма расчета
первой производной
F
i
используется для формирования краевых усло-
вий при нахождении приближенного “монотонизованного” значения
˜
F
i
первой частной производной по пространственным переменным
ξ
с ошибкой аппроксимации на уровне
F
i
=
∂
∂ξ
+
Δ
8
44100
+
O
(Δ
10
)
. В этом
случае вычисления следует проводить следующим образом (на основе
решения системы уравнений с пятидиагональной матрицей) [7]:
Q
i
=
E
+
5Δ
2
42
˜
f
i
,
e
F
i
=
(
E
+
2Δ
2
7
+
Δ
2
2
70
−
1
Q
i
)
i
,
F
i
=
sign
(
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
) min ˜
F
i
+1
,
˜
F
i
,
˜
F
i
−
1
,
F
i
=
F
i
+
sign
(
Y
i
+1
−
Y
i
−
1
)
∙
[1
−
Ind
(
Y
)
i
]
∙
e
F
i
−
F
i
.
В кусочно-полиномиальных распределениях
Y
(
ξ
)
присутствуют
пространственные производные второго порядка
∂
2
Y
∂ξ
2
i
=
s
i
, ко-
торые далее условно обозначим символом
s
i
и вычислим с восьмым
порядком точности [5]:
9
38
(
s
i
+1
+
s
i
−
1
) +
s
i
=
−
751
342Δ
2
Y
i
+
147
152Δ
2
(
Y
i
+1
+
Y
i
−
1
) +
+
51
380Δ
2
(
Y
i
+2
+
Y
i
−
2
)
−
23
6840Δ
2
(
Y
i
+3
+
Y
i
−
3
)
.
Пространственные производные четвертого
∂
4
Y
∂ξ
4
i
=
S
4
i
и ше-
стого
∂
6
Y
∂ξ
6
i,j
=
S
6
i
порядков находят из соотношений (т.е. путем
решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей) [7]:
Q
i
=
Δ
2
6
˜
f
i
,
f
S
4
i
=
("
E
−
E
+
Δ
2
6
−
1
#
Q
)
i
;
S
4
i
= Δ
4
∂
4
Y
∂ξ
4
i
−
Δ
8
720
+
O
Δ
10
;
Q
i
=
Δ
2
12
˜
S
4
i
,
f
S
6
i
=
("
E
−
E
+
Δ
2
12
−
1
#
Q
)
i
;
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 13
