гового метода Рунге–Кутты (в настоящей работе использован четы-
рехшаговый вариант метода [3], который имеет четвертый порядок
аппроксимации по времени
t
).
Для этого приведем векторный вариант системы уравнений Эйлера
к нормальной форме с выделенной в левой части временн´ой произ-
водной
∂ ~U
i
∂t
:
∂ ~U
i
∂t
=
L ~U
i
,
где
L
— правая часть системы уравнений Эйлера, не содержит произ-
водных по времени. В качестве начального приближения используется
решение, полученное на предыдущем шаге по времени. Тогда четырех-
шаговый вариант метода Рунге–Кутты реализуется в виде следующей
последовательности шагов:
~U
(1)
i
=
~U
(0)
i
+
Δ
t
4
L ~U
(0)
i
,
~U
(2)
i
=
~U
(0)
i
+
Δ
t
3
L ~U
(1)
i
,
~U
(3)
i
=
~U
(0)
i
+
Δ
t
2
L ~U
(2)
i
,
~U
(4)
i
=
h
~U
(0)
i
+ Δ
tL ~U
(3)
i
i
.
Известно, что такой способ поиска решения
~U
i
относительно вре-
мени
t
позволяет решить одну из проблем численного решения уравне-
ний Эйлера, т.е. необходимость обеспечить положительность искомых
функций (если в момент времени
t
n
решение является положитель-
ным, то оно остается положительным и в момент времени
t
n
+1
).
Повышение относительно временн´ой переменной
t
порядка ап-
проксимации численного решения уравнений Эйлера до четвертого
O
(Δ
t
4
)
и выше также возможно, если использовать последователь-
ность сеток по временн´ой переменной
t
и экстраполяцию по пределу,
предложенную Ричардсоном. Экстраполяция Ричардсона имеет следу-
ющие особенности:
•
возможность использования простейших аппроксимаций диффе-
ренциальных задач;
•
однородность осуществления алгоритмов на последователь-
ности сеток с различными параметрами аппроксимации;
•
простота реализации алгоритма в целом.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 9
