Пусть имеется решение рассматриваемой задачи, найденное инте-
грированием (со вторым порядком аппроксимации
O
(Δ
t
2
)
) по време-
ни
t
с шагом
Δ
t
на момент времени
b
t
=
t
+ Δ
t
, которое обозначим
как
(
ρ, u,
v
,P
)
|
t
+Δ
t
, а также решение (второго порядка аппроксимации
O
(Δ
t
2
)
), обозначаемое как
(
ρ, u,
v
,P
)
|
t
+Δ
t
/2
, полученное с использо-
ванием двух временн ´ых шагов (каждый шаг равен
Δ
t
/2
) до момента
времени
b
t
=
t
+ Δ
t
.
Тогда линейная комбинация вида
(
ρ, u,
v
,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
=
4
3
(
ρ, u,
v
,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/2
−
1
3
(
ρ, u,
v
,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
приближает точное решение к четвертому порядку аппроксимации по
временн´ой переменной
O
(Δ
t
4
)
[4].
Чтобы точное решение можно было приблизить к шестому или
восьмому порядку аппроксимации по временн´ой переменной, следует
воспользоваться формулами [5]:
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
=
32
21
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/4
−
−
4
7
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/2
+
1
21
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
;
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
=
512
315
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/8
−
−
32
45
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/4
+
4
45
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
/2
−
1
315
(
ρ, u, v,P
)
|
b
t
t
+Δ
t
.
На первом дробном шаге используется дивергентная форма урав-
нений Эйлера следующего вида:
∂ρ
∂t
+
∂ρu
ξ
∂ξ
=
F
ρ
,
∂
(
ρu
ξ
)
∂t
+
∂ ρu
2
ξ
+
P
∂ξ
=
F
ρu
,
∂
(
ρE
)
∂t
+
∂
(
ρEu
ξ
+
Pu
ξ
)
∂ξ
=
F
E
,
∂ ~U
∂t
+
∂F ~U
∂ξ
=
~F
2
,
где
u
ξ
= (
u, v
)
, параметр
ξ
может принимать одно из набора значений
(
r, z
)
, вектор решения имеет вид
~U
= (
ρ, ρu
ξ
, ρE
)
т
, вектор потоковой
переменной записывается в виде
F ~U
=
ρu
ξ
, ρu
2
ξ
+
P, ρEu
ξ
+
Pu
ξ
т
,
а вектор правой части представляется как
~F
2
= (
F
ρ
, F
ρu
, F
E
)
т
. Здесь
(для временного дробного шага
t
2
[
t, t
+ Δ
t
/2]
) применяется нели-
нейная квазимонотонная компактная разностная схема повышенного
10 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 1
