5 / 11
обоих колес в ненагруженном состоянии (рисунок,
в
). В этом случае
каждая
i
-я арка циклоиды будет симметричной относительно локаль-
ной оси
y
i
, угловая координата
ϕ
i
которой, отсчитываемая от большой
оси ГК, будет равна
ϕ
i
=
iπ/
(2
z
)
,
i
= 0
,
1
,
2
. . . z
.
При этом функция зазоров между сопрягаемыми зубьями колес
легко представляется в виде геометрической и упругой составляю-
щих. Геометрическая составляющая определяется из наложения неде-
формированных контуров ГК и ЖК, совмещенных центрами и осями
симметрии
X
и
Y
, а упругая составляющая определяется значениями
упругих перемещений соответствующих возможных точек контакта
зубьев венца ГК.
Обозначим диаметры делительных окружностей ГК и ЖК через
D
г
и
D
ж
. При этом под делительной окружностью соответствующего
колеса будем понимать такую окружность, которая проходит через на-
чала и концы арок циклоид, очерчивающих головки и впадины зубьев
этого колеса. Соединив концы арок циклоид прямыми хордами, вме-
сто окружностей получим правильные
n
-угольники (для ЖК
n
= 2
z
ж
,
а для ГК
n
= 2
z
г
) (см. рисунок,
в
).
В строгой постановке рассматриваемой задачи окружность, про-
изводящая арки циклоид, которые описывают головки зубьев колес с
внешними зубьями, катится без скольжения со стороны выпуклости
вдоль внешнего контура другой окружности радиуса
D
г
/
2
— для ГК
или
D
ж
/
2
— для ЖК. Ее точки будут описывать траектории — эпи-
циклоиды. Впадины между зубьями для колес с внешними зубьями
будут описываться гипоциклоидами, которые являются траекториями
точек той же окружности, если она катится без скольжения со сторо-
ны вогнутости вдоль внутреннего контура другой окружности радиуса
D
г
/
2
— для ГК или
D
ж
/
2
— для ЖК. Для колес с внутренними зубья-
ми — наоборот, эпициклоиды будут описывать впадины, а гипоцикло-
иды — головки зубьев. Уравнения делительных окружностей колес в
глобальной системе координат
YОX
, связанной с их центром (где ось
Y
совпадает с осью
Y
нулевой пары), имеют вид
Y
2
+
X
2
= (
D/
2)
2
, где
D
=
D
г
для ГК, и
D
=
D
ж
для ЖК. Начала и концы арок эпициклоид
и гипоциклоид будут лежать на этих окружностях. Между хордами и
окружностями колес будут расположены сегменты круга с высотой их
арок, равной
h
=
D/
2
−
p
(
D/
2)
2
−
(
πr
)
2
(здесь
πr
— половина длины
хорды, соединяющей начало и конец арки циклоиды). Площади, рас-
положенные между арками эпициклоид и их хордами, будут несколько
больше соответствующих площадей, заключенных между арками ци-
клоид и теми же хордами, на значение площадей упомянутых ранее
сегментов, поскольку в этом случае производящая окружность будет
катиться со стороны выпуклости. Расстояние от наиболее удаленной
точки эпициклоиды до хорды увеличится на
h
, где
h
— высота ар-
ки окружности радиуса
D/
2
. И наоборот, площади, расположенные
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 2 111