7 / 11
в одной волне зацепления будут находиться в полном контакте. Это
состояние соответствует построению зацепления по дуге постоянного
радиуса. В этом случае система сил, действующих на ГК и со сторо-
ны толкателей, и со стороны ЖК, может быть найдена из матричного
уравнения метода сил:
[
p
ij
]
{
P
j
}
=
{
w
j
}
.
(5)
Здесь
{
P
j
}
— вектор столбец искомых сил,
{
w
j
}
— вектор упругих
перемещений, задаваемых ГК при его сборке с ЖК, а
[
p
ij
]
— матри-
ца коэффициентов влияния, построенная для выбранных точек ГК с
координатами
ϕ
i
и
ϕ
j
, где
i
= 1
,
2
, . . .
,
j
= 1
,
2
, . . .
— порядковые
номера точек выбранной сетки. Для их вычисления можно воспользо-
ваться разложением в ряд Фурье [6] уравнения упругой линии кольца,
нагруженного двумя радиальными единичными силами:
p
ij
=
2(
D
г
/
2)
3
πEJ
X
n/
2
,
4
,
6
...
n
2
cos
n
(
ϕ
i
−
ϕ
j
)
(
n
2
−
1)
2
,
(6)
где
D
г
— диаметр делительной окружности гибкого колеса;
E
— мо-
дуль упругости первого рода его материала;
J
— приведенный момент
инерции его поперечного сечения.
Изгибаемый зубчатый венец ГК во всех расчетах представляется
нерастяжимым гладким кольцом с прямоугольной формой поперечно-
го сечения. Его ширина равна ширине зубчатого венца, а эквивалент-
ная толщина определяется из численного решения задачи об изгибе
реального зубчатого венца методом конечных элементов [5].
Наиболее трудоемким и более сложным является расчет сил и за-
зоров между зубьями колес при нагружении ВМ, передаваемым крутя-
щим моментом. Расчет проводится на втором этапе. Исходными дан-
ными сил и зазоров на этом этапе служат результаты расчета, полу-
ченные на первом этапе. Расчет сводится к многократному решению
нестационарной динамической задачи деформирования эквивалентно-
го по жесткости ГК [7, 8]:
[
M
]
{
¨
q
}
+ [
C
]
{
˙
q
}
+ [
K
]
{
q
}
=
{
P
}
,
(7)
где
[
K
]
— матрица жесткости;
[
M
]
— матрица масс;
[
C
]
— матрица демп-
фирования;
{
P
}
— вектор внешней нагрузки;
{
¨
q
}
,
{
˙
q
}
,
{
q
}
— векторы
обобщенных ускорений, скоростей и перемещений узлов конечных
элементов, которыми в рассматриваемой задаче выбраны криволиней-
ные стержни радиуса
D
г
/
2
.
Учет одностороннего характера сил взаимодействия толкателей с
ГК и зубьев колес между собой связан с перестроением вектора внеш-
ней нагрузки и подчинением найденных значений сил и зазоров си-
стеме неравенств, исключающих возможность смены их знаков.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 2 113