Динамика движения элементов головного блока пилотируемого корабля в аварийной ситуации

4 / 13

ωx = ˙ψ sin θ sin ϕ + ˙θ cos ϕ;
ωy = ˙ψ sin θ cos ϕ − ˙
θ sin ϕ;
ωz = ˙ψ cos θ + ˙ϕ.
(3)
Значения ωx, ωy и ωz получаем, интегрируя уравнение (2). Пре-
образуем соотношения (3) следующим образом:
˙
ψ = ωx
sin ϕ
sin θ
+ ωy
cos ϕ
sin θ
;
˙
θ = ωx cos ϕ − ωy sin ϕ;
˙ ϕ = ωz − ctg θ (ωx sin ϕ + ωy cos ϕ) .
(4)
Из (4) следует, что если тело совершает произвольное простран-
ственное движение, то этими соотношениями пользоваться нельзя, так
как при углах, кратных kπ (k = 0, 1, 2, . . .) и близких к ним, sin θ → 0 ,
а ˙
ψ → ∞. Чтобы исключить этот недостаток для определения ориента-
ции можно использовать систему направляющих косинусов. Примем
следующий порядок поворотов ψ → θ → ϕ (углы Эйлера). Запишем
матрицу перехода из связанной с телом СК в инерциальную СК [6]:
A =
=  cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ
−cos ψ sin ϕ − cos ψ sin ϕ cos θ −sin ψ sinϕ + cos ψ cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ
sinψ sin θ −cos ψ sin θ cos θ
 =
= " cos ( x, xg ) cos (x, y g ) cos (x, zg )
cos (y, xg) cos (y, yg ) cos (y, zg )
cos (z, xg) cos (z, yg ) cos (z, zg ) # . (5)
Обозначим единичный вектор любой из инерциальных осей ~αk .
В подвижной связанной с телом СК проекции этого вектора опреде-
ляются направляющими косинусами:
~αk = ~e1a1k + ~e 2a2k + ~e3a3k,
где ~e1, ~e2, ~e3 — орты связанной системы координат; aik — элемент ма-
трицы перехода А (i = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3).
В инерциальной СК полная производная единичного вектора ~αk
равна нулю. Воспользуемся формулой Бура [7]:
d~αk
dt
=
˜
d~α k
dt
+ ~ω × ~αk.
Откуда
˜
d~αk
dt
= ~αk × ~ω. (6)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 1 7