5 / 13
Дополнив выражение (5) равенством (6), окончательно получим
d
dt
cos (
x, x
g
) cos (
x, y
g
) cos (
x, z
g
)
cos (
y, x
g
) cos (
y, y
g
) cos (
y, z
g
)
cos (
z, x
g
) cos (
z, y
g
) cos (
z, z
g
)
=
A
0
ω
z
−
ω
y
−
ω
z
0
ω
x
ω
y
−
ω
x
0
.
(7)
Совместное интегрирование динамических уравнений Эйлера (2)
и соотношений (7) позволяет найти направляющие косинусы матрицы
(5) и, следовательно, определить углы
ψ, θ, ϕ
:
θ
= arccos [cos (
z, z
g
) ] ;
ϕ
= arctg
cos (
x, z
g
)
cos (
y, z
g
)
;
ψ
=
−
arctg
cos (
z, x
g
)
cos (
z, y
g
)
.
Относительное движение объектов наиболее наглядно предста-
влять в связанной с одним из них СК. Пусть
~r
(
g
)
C
1
и
~r
(
g
)
C
2
— радиусы-
векторы положения центров масс разделяемых тел в инерциальной
СК, а
A
1
→
g
и
A
2
→
g
— матрицы перехода из связанных с телами
1
и
2
СК в инерциальную СК, соответственно
A
g
→
1
и
A
g
→
2
— матрицы
перехода из инерциальной СК в связанные с телами СК. Здесь
A
1
→
g
=
f
(
ψ
1
, θ
1
, ϕ
1
) ;
A
2
→
g
=
f
(
ψ
2
, θ
2
, ϕ
2
) ;
A
g
→
1
= [
A
1
→
g
]
Т
;
A
g
→
2
= [
A
2
→
g
]
Т
.
Тогда радиус-вектор
~r
(2)
C
1
центра масс тела
1
в связанной с телом
2
СК и матрицы перехода между связанными с телами
1
и
2
СК
A
1
→
2
и
A
2
→
1
будут определяться следующими соотношениями:
~r
(2)
C
1
=
A
g
→
2
~r
(
g
)
C
1
−
~r
(
g
)
C
2
;
A
1
→
2
=
A
g
→
2
A
1
→
g
;
A
2
→
1
= [
A
1
→
2
]
Т
.
С помощью метода численного интегрирования Рунге – Кутты [8]
была разработана математическая модель отделения двух тел на осно-
ве соотношений (1), (2) и (7). В расчетах полагается, что отделяемые
тела абсолютно твердые с неизменными массовыми, инерционными
и центровочными характеристиками, а действующие силы зависят от
времени или относительного расстояния между объектами. Положе-
ние связанных СК
С
XY Z
для каждого тела задается относительно их
8 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 1