11 / 20
В.А. Бернс, Е.П. Жуков, Д.А. Маринин
14
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2016. № 4
3. При
i
p
1, 2, ,
i
N
существуют действительные значения
j
1, 2,
, ,
j
S
,
S N
но монофазные колебания не совпадают с собственными
колебаниями.
В этом случае относительно свойств демпфирования отметим существова-
ние связи между матрицами
A
,
C
и
H
:
2
,
1, 2,
, .
j
j
j
A C V HV j
S
Кроме того, при
S N
запишем
т
т
2
1 ,
1
V HV V E
(38)
а в случае симметрии матрицы
т
2
1 1
V E
матрица демпфирования сим-
метрична (здесь
V
— матрица, столбцами которой являются векторы
;
j
V
столбцы матрицы
E
— это векторы
;
j
E
2
1 1
— диагональная матрица).
Но из симметрии матрицы
H
следует условие ортогональности векторов
,
j
V
т.
е. матрицы левой и правой частей равенства (38) диагональные. Таким обра-
зом, из диагональности матрицы в правой части (38) следует симметрия матри-
цы демпфирования. А это означает, что число неизвестных элементов матрицы
снижается от
2
N
до
( 1) 2,
N N
причем между ними существует связь:
т
0, ,
1, 2,
, ,
.
j
j
V HV i j
N i j
Покажем, что если на частоте
i
р
1, 2, ... ,
i
N
монофазные колебания
не совпадают с собственными, то матрица демпфирования в нормальных коор-
динатах не может быть диагональной.
Допустим противоположное — монофазные колебания не совпадают с соб-
ственными, а матрицы демпфирования, инерции и жесткости приводятся к диа-
гональным одним преобразованием координат. Представим вектор квадратур-
ных составляющих монофазных колебаний в виде разложения по собственным
векторам и умножим слева на
т
:
W
т 2
0,
W A C H Wg
или
2
2
[ ]
[ ]
0.
a p a h g
Здесь
[ ]
h
(согласно допущению) — диагональная матрица. Но тогда собствен-
ное значение
j
определяется только обобщенными динамическими характе-
ристиками (массой, собственной частотой, коэффициентом демпфирования)
i
-го тона, а вектор
j
g
разложения
j
V
по собственным векторам имеет только
i
-й