Идентификация диссипативных свойств конструкций по результатам экспериментального модального анализа

9 / 20

В.А. Бернс, Е.П. Жуков, Д.А. Маринин
12 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2016. № 4
и при независимых столбцах  V и неособенной матрице демпфирования
 
det 0, V  
det 0 H условие (34) определяет собственные частоты системы
 
  2 det 0 A C независимо от свойств матрицы демпфирования.
Покажем, что при  L N нахождение собственной частоты из условия
  
т
т 0 V U
V V
равносильно определению ее из условия
т
т min .U U
V V
Запишем выражение для собственного значения задачи (28)
 
 
 
т
т
D
B
и
подставим  и вектор , соответствующие наименьшему собственному значе-
нию. Такое наименьшее действительное положительное собственное значение
существует независимо от свойств механической системы, так как матрицы D и
B симметричные и положительно определенные (это следует из того, что мат-
рицы D и B можно представить в виде  т 1 1, D D D т 11, B B B где 1 D и 1 B — не-
особенные матрицы). Тогда с учетом (30) и (31) получаем
     
 
 
     
 
т т т 2 т
min т т
( 2 ) , U U V U V V
V V
откуда следует, что при   0
 
 
 
 
т т
т т
U U
V V
или (см. (25))
т
т
U U
V V
имеет наименьшее
значение для данного числа и расположения сил возбуждения.
Для определения векторов сил E(L) и F(L) немонофазного возбуждения необ-
ходимо выполнить два условия — вынужденные колебания должны быть моно-
фазными и вектор квадратурных составляющих монофазных колебаний V должен
совпадать с собственным вектором системы на любой частоте. При возбуждении и
регистрации колебаний в одних и тех же точках эти условия приводят к уравнени-
ям (20) и (21). Если же  , L N то приближенное выполнение каждого условия (ми-
нимизация отличия вынужденных колебаний от монофазных и от собственных)
дает по 2L уравнений для нахождения компонентов векторов E и F, т. е. всего 4L
уравнений относительно 2L неизвестных. Для приведения в соответствие числа
уравнений числу неизвестных используем допущение о том, что для возбуждения
колебаний на частоте  можно применить вектор квадратурных составляющих
возбуждения E, реализующий режим фазового резонанса.
Вектор квадратурных составляющих возбуждения F найдем из условия ми-
нимума отличия вектора V от собственного вектора системы (от вектора V на
собственной частоте), т. е. из условия минимума параметра:
   
 
 
т* *
*т * ( ) .
V V V V
G
V V
Здесь звездочкой отмечены параметры, соответствующие фазовому резонансу.