Численное моделирование прецессии упругой волны в цилиндрическом резонаторе волнового твердотельного гироскопа с неоднородным распределением плотности

2 / 11

О.С. Нарайкин, Ф.Д. Сорокин, С.А. Козубняк, Д.С. Вахлярский
42 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5
его точность. Уход гироскопа может быть вызван различными технологически-
ми дефектами, наиболее существенными из которых являются искажение гео-
метрической формы, а также неоднородность плотности, упругих свойств и
толщины резонатора [2, 5–7].
Цель настоящей работы — численное исследование влияния неоднородного
распределения плотности на уход гироскопа. Отметим, что обычно явление ухода
исследуют аналитическими методами, что требует использования различных гипо-
тез и предположений для упрощения анализа. В наcтоящей статье используются
только гипотезы и предположения теории оболочек. Закон движения упругой вол-
ны предлагается находить непосредственным численным решением уравнений ко-
лебания цилиндрической оболочки с неоднородным распределением плотности во
вращающейся системе координат. Для цилиндрической оболочки принимаются
граничные условия Навье, как и в работах [6, 7], т. е. речь идет не о расчете кон-
кретного резонатора, а об отработке методики численного анализа явления ухода.
Вывод уравнений движения вращающегося цилиндрического резонатора.
На рис. 1. показан общий вид резонатора и традиционные для цилиндра гауссовы
координаты: s — осевая координата,  — полярный угол.
Перемещения цилиндрической оболочки задавались в виде отрезков три-
гонометрического ряда:
         
         
         
 
 
 
  
     
 
 
  
     
 
 
  
     
 
 
 
 
 
0 1
1 0
0 1
, , cos sin cos ;
, , sin cos sin ;
, , cos sin sin ,
n n
c s
k k
k k
n n
c s
k k
k k
n n
c s
k k
k k
s
u s t u t k u t k
l
s
v s t v t k v t k l
s
w s t w t k w t k l
(1)
где u, v, w — осевое, окружное и нормальное
перемещения соответственно; t — время;
n — максимальный номер гармоники; ин-
декс «с» относится к слагаемым, симмет-
ричным относительно нулевого меридиана
    0 ; индекс «s» — к кососимметричным
слагаемым.
Поскольку по координатам s и φ
функции заданы, то движение оболочки
полностью определяется коэффициентами
рядов (1), которые удобно собрать в сле-
дующий вектор состояния:
                               
 0 0 0 1 1 1 1 1
т
1 , , , , , , , , , ..., , , , , . , c c c s s s c c c s s s c c c
n n n n n n u v w u v w u v w u v w u v w y
(2)
Рис. 1. Общий вид вращающегося
резонатора