4 / 11
О.С. Нарайкин, Ф.Д. Сорокин, С.А. Козубняк, Д.С. Вахлярский
44
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5
2
2
2
2
0 0
,
2
l
h u
v
w
T
w
v dsRd
t
t
t
(7)
где
— плотность материала резонатора.
Слагаемые, содержащие производные перемещений в первой степени, уда-
лены из формулы (7), поскольку они всe равно исчезнут при формировании
уравнения Лагранжа 2-го рода. В реальном резонаторе распределение плотно-
сти определить очень трудно, поэтому параметр
в формуле (7) должен рас-
сматриваться как приведeнная величина, имитирующая реальное распределе-
ние массы. Например, если на небольшом участке поверхности нанесен допол-
нительный материал (в процессе балансировки [2, 10, 11]), то увеличение массы
на данном участке можно учесть условным увеличением плотности
.
Известно [2, 11], что на уход гироскопа сильнее всего влияет четвертая гар-
моника неоднородности распределения плотности (при колебаниях с волновым
числом 2), поэтому зависимость плотности от полярного угла зададим в следу-
ющем виде:
0 0
1 cos 4
,
(8)
где
— малый параметр; φ
0
— угол ориентации формы несовершенства отно-
сительно оси координат;
0
— среднее значение плотности.
Подстановка сумм (1) в формулу (7) с последующим вычислением опре-
делeнных интегралов средствами пакета Wolfram Mathematica позволяет пред-
ставить кинетическую энергию в следующем виде:
т
т
1
1
,
2
2
d
d
d
T
dt
dt
dt
y
y
y
M y C
(9)
где [
M
] — матрица масс; [
C
] — кососимметричная матрица гироскопических
коэффициентов.
Уравнения движения формировались обычным образом, т. e. подстановкой
выражений для энергий (6) и (9) в уравнение Лагранжа 2-го рода. В векторно-
матричной форме уравнения движения имеют вид
2
2
[ ]
[ ]
[ ]
.
d
d
dt
dt
y
y
M C K y 0
(10)
Численное решение уравнений движения вращающегося цилиндра.
По-
лученная система обыкновенных дифференциальных уравнений (10) является
весьма «жeсткой», поэтому обычные компьютерные программы численного ин-
тегрирования дифференциальных уравнений (например, NDSolve из пакета
Wolfram Mathematica) практически непригодны для еe решения. Результат либо
получается с чрезвычайно большими погрешностями, либо (при включении
опций, учитывающих жeсткость системы) время расчeта становится неприем-
лемо большим.