Компоненты вектора
Z
(
ν
)
0
(
α, β, η
) (
ν
= 1
,
2)
, входящие в вектор
Z
0
, должны удовлетворять краевым условиям задачи:
1)
η
= 0 :
ϑ
(1)
30
=
u
(1)
20
= 0
,
ϑ
(2)
30
=
u
(2)
20
= 0
;
2)
η
= 1 : Δ
Q
(1)
20
= Δ
M
(1)
30
= 0
,
Δ
Q
(2)
20
= Δ
M
(2)
30
= 0
.
Из краевых условий получаем
c
(1)
3
=
c
(1)
4
= 0
и
c
(2)
3
=
c
(2)
4
= 0
,
поэтому
c
(1)
=
с
(1)
1
,
с
(1)
2
,
0
,
0
т
и
c
(2)
=
с
(2)
1
,
с
(2)
2
,
0
,
0
т
.
Из краевых условий при
η
= 1
системы (8) получаем четыре одно-
родных уравнения:
k
11
c
(1)
1
+
k
12
c
(1)
2
+
k
15
c
(2)
1
+
k
16
c
(2)
2
+
g
11
cu
(1)
20
+
g
15
cu
(2)
20
= 0;
k
21
c
(1)
1
+
k
22
c
(1)
2
+
k
25
c
(2)
1
+
k
26
c
(2)
2
+
g
21
cu
(1)
20
+
g
25
cu
(2)
20
= 0;
k
51
c
(1)
1
+
k
52
c
(1)
2
+
k
55
c
(2)
1
+
k
56
c
(2)
2
+
g
51
cu
(1)
20
+
g
55
cu
(2)
20
= 0;
k
61
c
(1)
1
+
k
62
c
(1)
2
+
k
65
c
(2)
1
+
k
66
c
(2)
2
+
g
61
cu
(1)
20
+
g
65
cu
(2)
20
= 0
.
(9)
В систему (9) входят неизвестные
u
(1)
20
(
η
1
)
и
u
(2)
20
(
η
1
)
, которые мож-
но получить из системы (8) (при
η
=
η
1
матрица Грина единичная,
поэтому
g
ii
= 1
,
g
ij
= 0
при
i
=
j
)
:
k
41
(
η
1
)
c
(1)
1
+
k
42
(
η
1
)
c
(1)
2
+
k
45
(
η
1
)
c
(2)
1
+
k
46
(
η
1
)
c
(2)
2
=
u
(1)
20
(
η
1
) ;
k
81
(
η
1
)
c
(1)
1
+
k
82
(
η
1
)
c
(1)
2
+
k
85
(
η
1
)
c
(2)
1
+
k
86
(
η
1
)
c
(2)
2
=
u
(2)
20
(
η
1
)
.
Исключая из системы (9)
u
(
ν
)
20
(
η
1
) (
ν
= 1
,
2)
, получаем однородную
систему уравнений относительно
c
(1)
j
и
c
(2)
j
(
j
= 1
,
2)
:
D
(
α, β
) ˜¯
C
= 0 ˜¯
C
=
c
(1)
1
, c
(1)
2
, c
(2)
1
, c
(2)
2
т
.
(10)
Численными методами (программа Mathematica) определяем значе-
ния комплексных корней
(
α
j
, β
j
)
(комплексные собственные значения
λ
j
=
α
j
+
iβ
j
)
, при которых определитель системы (10)
det
D
равен
нулю.
Результаты численного определения комплексных собственных
значений в зависимости от положения упругой связи
(
η
1
)
. На рис . 2
приведены графики изменения первых двух комплексных корней
α
j
и
β
j
при
j
= 1
,
2
для ряда значений
η
1
при
C
= 100
в зависимо-
сти от модуля следящей силы
P
(безразмерной). Критические силы
обозначены как
P
∗
.
Из полученных результатов следует, что до значения
η
1
<
0
,
8
имеет
место динамическая потеря устойчивости (флаттер), а при
η
1
>
0
,
8
—
статическая (дивергенция), т.е. при
0
<
˜
η
1
0
,
8
критическую силу
можно определить только из уравнения малых колебаний стержня, а
при
η
1
0
,
8
— из уравнений равновесия после потери устойчивости.
18 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 2
