Динамическая устойчивость прямолинейных стержней с локальными связями, нагруженных следящими силами - page 9

Устойчивость прямолинейной трубки с локальной упругой свя-
зью, заполненной движущейся с постоянной скоростью идеальной
жидкостью.
Уравнения малых колебаний трубки в плоскости
X
1
OX
2
.
Запишем систему уравнений
2
u
2
∂τ
2
+ 2
n
11
w
0
∂ϑ
3
∂τ
Q
(1)
10
Δ
M
3
Δ
Q
2
∂η
= Δ
q
2
;
Δ
M
3
∂η
+ Δ
Q
2
= 0;
∂ϑ
3
∂η
Δ
M
3
= 0;
∂u
2
∂η
ϑ
3
= 0
,
(11)
где
Q
(1)
10
=
n
11
w
2
0
.
Слагаемое смножителем
2
n
11
w
0
— это распределенные силы Ко-
риолиса;
n
11
=
m
ж
m
ж
+
m
труб
;
Δ
q
2
=
(
η
η
1
) =
cu
2
δ
(
η
η
1
)
;
давление в жидкости не учитывается.
Систему (11) аналогично системе (1) можно представить в виде
A
(1)
2
Z
∂τ
2
+
A
(3)
∂Z
∂τ
+
∂Z
∂η
+
A
(2)
Z
=
(
η
η
1
)
,
(12)
где
A
(2)
=
⎡ ⎢⎢⎣
0
n
11
w
2
0
0 0
1 0
0 0
0
1 0 0
0 0
1 0
⎤ ⎥⎥⎦
;
A
(3)
=
⎡ ⎢⎢⎣
0 0
2
n
11
w
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤ ⎥⎥⎦
Определение комплексных собственных значений.
Полагая, что
Z
=
Z
(1)
0
+
iZ
(2)
0
e
(
α
+
)
τ
, b
=
b
0
e
(
α
+
)
τ
,
получаем из уравнения (12) выражение, аналогичное уравнению (5):
dZ
0
+
AZ
0
=
B
0
δ
(
η
η
1
)
,
(13)
где
A
=
⎡ ⎣
A
(2)
+ (
α
2
β
2
)
A
(1)
+
A
(3)
α
2
A
(1)
αβ
+
A
(3)
β
;
2
A
(1)
αβ
+
A
(3)
β
A
(2)
+ (
α
2
β
2
)
A
(1)
+
A
(3)
α
⎤ ⎦
;
B
=
b
(1)
0
, b
(2)
0
т
.
Алгоритм численного решения уравнения (13) и определения ком-
плексных собственных значений совпадает с алгоритмом решения за-
дачи, приведенной на рис. 1,
а
.
Результаты численного определения комплексных собственных
значений в зависимости от положения упругой связи.
На рис. 8 при-
ведены графики изменения первых трех комплексных корней
α
и
β
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 2 23
1,2,3,4,5,6,7,8 10,11
Powered by FlippingBook