5 / 15
Рис. 1. К выводу дифференциаль-
ного уравнения теплопроводности
прозрачной стенки
где
a
= Λ
/
(
cρ
)
— температуропровод-
ность материала оболочки;
k
— ин-
тегральный коэффициент поглощения
стекла;
q
л.o
— плотность потока из-
лучения на внутренней поверхности
оболочки;
Λ
— теплопроводность.
Для решения задачи (3)–(6) ис-
пользуем метод конечных интеграль-
ных преобразований, предварительно
записав ее в безразмерной форме:
∂θ
(
ξ,
Fo
)
∂
Fo
=
∂
2
θ
(
ξ,
Fo
)
∂ξ
2
+
F
(
ξ
) ;
(7)
∂θ
(
ξ,
Fo
)
∂ξ
ξ
=
ξ
1
=
f
1
(
Fo
);
(8)
∂θ
(
ξ,
Fo)
∂ξ
ξ
=
ξ
2
+
Bi
θ
(
ξ
2
,
Fo
) =
f
2
(Fo) ;
(9)
θ
(
ξ,
0) =
f
(
ξ
) =
T
0
T
m
,
(10)
где
ξ
=
x/h
— безразмерная координата; Fo — критерий Фурье;
f
1
(
Fo
) =
−
Ki
т
=
−
q
т
h/
(Λ
T
m
)
— критерий Кирпичева, выражен-
ный через плотность кондуктивного потока (
h
— толщина оболоч-
ки,
T
m
— любая температура (кроме 0 и
∞
), выбранная для обезраз-
меривания величин);
f
2
(
Fo
) =
Bi
θ
ж
(
Bi
=
α
ж
h/
Λ
— критерий Био;
θ
ж
=
T
ж
/T
m
)
;
F
(
ξ
) =
Bu Ki
л
exp (
−
Bu
ξ
)
; Bu
=
kh
— критерий Буге-
ра; Ki
л
=
q
л.o
h/
(Λ
T
m
)
— критерий Кирпичева;
f
(
ξ
) =
θ
(
ξ,
0) =
T
0
T
m
;
θ
(
ξ
2
,
Fo
) =
θ
(
ξ
2
) =
T
2
/T
m
;
ξ
1
= 0
;
ξ
2
= 1
;
θ
(
ξ,
Fo
) =
T
(
x, τ
)
/T
m
.
Применив к дифференциальному уравнению (7) и начальному
условию (10) интегральное преобразование вида
θ
(
Fo
) =
1
Z
0
ρ
(
ξ
)
θ
(
ξ,
Fo
)
k
(
μ
n
, ξ
)
dξ,
получим
dθ
(
Fo
)
d
Fo
=
−
μ
2
n
θ
(
Fo
) +
F
+
P
;
(11)
θ
(0) =
f ,
(12)
где
ρ
(
ξ
)
— весовая функция, в условиях данной задачи равная единице;
k
(
μ
n
, ξ
)
— нормированное ядро интегрального преобразования
k
(
μ
n
, ξ
) =
k
(
μ
n
, ξ
)
√
N
;
(13)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 49