6 / 15
N
— норма [11]:
N
=
1
Z
0
k
2
(
μ
n
, ξ
)
dξ
;
(14)
F
=
1
Z
0
f
(
ξ
)
k
(
μ
n
, ξ
)
dξ
=
Bu Ki
л
1
Z
0
e
−
Bu
ξ
k
(
μ
n
, ξ
)
dξ
;
(15)
f
=
1
Z
0
f
(
ξ
)
k
(
μ
n
, ξ
)
dξ
=
T
0
T
m
1
Z
0
k
(
μ
n
, ξ
)
dξ
;
(16)
P
=
1
√
N
[
f
2
(
Fo
)
k
(
μ
n
,
1)
−
f
1
(
Fo
)
k
(
μ
n
,
0)]
.
(17)
Ненормированное ядро интегрального преобразования
k
(
μ
n
, ξ
)
на-
ходим из решения граничной задачи Штурма – Лиувилля [12]:
−
(
pk
)
0
+
q
−
μ
2
ρ K
= 0;
γ
1
k
0
(
ξ
1
) +
β
1
k
(
ξ
1
) = 0;
γ
2
k
0
(
ξ
2
) +
β
2
k
(
ξ
2
) = 0
,
где
p
=
ρ
и
q
=
−
ρ
;
k
=
k
(
μ, ξ
)
,
γ
1
=
γ
2
= 1
;
β
1
= 0
и
β
2
=
Bi.
В нашем случае с учетом результатов работы [13] решение задачи
имеет вид
k
(
μ
n
, ξ
) = cos (
μ
n
ξ
) +
B
2
sin (
μ
n
ξ
)
,
где
B
2
=
−
γ
1
cos
0
(
μ
n
ξ
1
) +
β
1
cos (
μ
n
ξ
1
)
γ
1
sin
0
(
μ
n
ξ
1
) +
β
1
sin (
μ
n
ξ
1
)
= 0
.
Таким образом,
k
(
μ
n
, ξ
) = cos (
μ
n
ξ
)
.
(18)
Подставляя последовательно выражение (18) в формулы (14), (13),
(15)–(17) и решая уравнение (11), получаем
θ
(
Fo
) =
e
−
Bu
Bu
2
+
μ
2
n
(
μ
n
sin
μ
n
−
Bu
cos
μ
n
) +
Bu
Bu
2
+
μ
2
n
Bu Ki
л
+
+ (
Bi
θ
ж
cos
μ
n
+
Ki
т
)
1
μ
2
n
√
N
1
−
e
−
μ
2
n
Fo
+
T
0
T
m
sin
μ
n
μ
n
√
N
e
−
μ
2
n
Fo
.
(19)
Используя далее формулу обращения изображения функции
θ
(
Fo
)
в оригинал
θ
(
ξ,
Fo
) =
∞
X
n
=1
θ
(
Fo
)
k
(
μ
n
, ξ
)
(20)
50 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2