на конструкцию в условиях обтекания высокоскоростным потоком га-
за и действия различных внешних источников нагрева. Аналогичный
подход представления конструктивных элементов телами простой гео-
метрической формы может быть использован при планировании и ана-
лизе результатов тепловых испытаний конструкций. Для оценки тем-
пературного состояния могут быть использованы известные решения
уравнения теплопроводности в системах координат, соответствующих
форме тела, с заданием соответствующих граничных условий [2–5].
Для практики интерес может представлять и аналитический метод
расчета температурного состояния объектов простой геометрической
формы, основанный на едином алгоритме решения уравнения тепло-
проводности.
Уравнение теплопроводности, описывающее одномерное темпера-
турное поле в телах простой геометрической формы, может быть по-
лучено из общего уравнения переноса субстанции [6, 7]
∂
˜
C
∂τ
+
∂
∂r
( ˜
C ~v
) = ˜
I
V
,
(1)
где
˜
C
— количество субстанции, заключенной в объеме слоя
s
(
r
)
dr
,
толщиной
dr
и площадью поверхности уровня субстанции
s
(
r
)
, ор-
тогональной вектору переноса
~r
субстанции,
r
— координата;
~v
—
вектор скорости переноса субстанции;
τ
— время;
˜
I
V
— количество
субстанции, зарождающейся (исчезающей) в объеме
s
(
r
)
dr
в единицу
времени.
При решении тепловых задач в одномерной постановке в качестве
переносимой субстанции удобно использовать поток энергии
˜
C
=
C s
(
r
)
dr
(2)
и величину внутреннего тепловыделения в объеме
s
(
r
)
dr
˜
I
V
=
q
V
s
(
r
)
dr,
(3)
где
C
— концентрация энергии, Дж/м
3
;
q
V
— мощность объемных
источников (стоков) теплоты, Вт/м
3
.
Подставив (2) и (3) в уравнение (1) и учитывая, что объем эле-
ментарного слоя
s
(
r
)
dr
не зависит от времени, после преобразований
получим
∂C
∂τ
+
1
s
(
r
)
∂
∂r
h
C~v s
(
r
)
i
=
q
V
,
(4)
где в этом случае
C
=
c
V
ρT
— объемная плотность энергии, а
C~v
=
~q
i
(5)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 47
