где Bi
=
αl/λ
э
— критерий Био;
Θ
c
=
T
c
/T
m
,
T
m
— температура
окружающей среды.
В другом частном случае для пластины, цилиндра и сферы (соот-
ветственно
ν
= 0
,
1
и 2) с внутренними источниками теплоты
(
j
= 0)
,
поскольку Bi
=
Кп
=
C
ξ
= 0
,
b
ξ
=
ν/ξ
,
F
(
ξ
) =
Po
(
ξ
)
, уравнение (13)
может быть записано в виде
d
2
Θ
dξ
2
+
ν
ξ
d
Θ
dξ
+
Po
(
ξ
) = 0
,
где
ν
— коэффициент формы тела; Po
(
ξ
) =
q
V
0
(
ξ
)
l
2
/
(
λT
m
)
— критерий
Померанцева.
Используя общий вид уравнения теплопроводности в форме (13),
температурное поле в стационарном случае теплообмена для тел про-
стейшей формы может быть определено из решения краевой задачи
d
2
Θ
dξ
2
+
b
ξ
d
Θ
dξ
+
c
(
ξ
)Θ +
F
(
ξ
) = 0;
(15)
γ
1
Θ
0
(
ξ
1
) +
β
1
Θ (
ξ
1
) =
f
1
(
Fo
);
(16)
γ
2
Θ
0
(
ξ
2
) +
β
2
Θ (
ξ
2
) =
f
2
(
Fo
)
,
(17)
где
γ
1
, γ
2
, β
1
, β
2
— безразмерные коэффициенты, с помощью которых
могут быть реализованы граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, а
также любая их комбинация. Эти коэффициенты и функции
f
1
(
Fo
)
,
f
2
(
Fo
)
определяют простым сопоставлением граничных условий (16)
и (17) с граничными условиями конкретной краевой задачи, записан-
ной в безразмерной форме. Указанная процедура проиллюстрирована
ниже на примерах.
Решение задачи (15)–(17) может быть получено в общей форме.
С этой целью представим решение однородного дифференциального
уравнения (
F
(
ξ
) = 0
)
d
2
Θ
dξ
2
+
b
ξ
d
Θ
dξ
+
c
(
ξ
)Θ = 0
(18)
в виде
Θ =
C
1
ψ
(
ξ
) +
C
2
ϕ
(
ξ
)
,
(19)
где
ψ
(
ξ
)
, ϕ
(
ξ
)
— фундаментальная система решений однородного урав-
нения (18). Вид этих функций для некоторых частных случаев, встре-
чающихся в задачах теплопроводности, приведен в таблице [1].
Для получения общего решения неоднородного уравнения (15) вос-
пользуемся методом вариации произвольных постоянных, в соответ-
ствии с которым, используя (19), запишем
Θ
0
=
C
1
ψ
0
(
ξ
) +
C
2
ϕ
0
(
ξ
) +
C
0
1
ψ
(
ξ
) +
C
0
2
ϕ
(
ξ
)
,
(20)
50 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 1
