b
2
=
f
2
(
Fo
) + [
γ
2
ψ
0
(
ξ
) +
β
2
ψ
(
ξ
)]
H
1
(
ξ
)
γ
2
ϕ
0
(
ξ
) +
β
2
ϕ
(
ξ
)
−
H
2
(
ξ
)
ξ
=
ξ
2
;
(33)
b
3
=
γ
1
ϕ
0
(
ξ
) +
β
1
ϕ
(
ξ
)
γ
1
ψ
0
(
ξ
) +
β
1
ψ
(
ξ
)
ξ
=
ξ
1
;
(34)
b
4
=
f
1
(
Fo
)
−
[
γ
1
ϕ
0
(
ξ
) +
β
1
ϕ
(
ξ
)]
H
2
(
ξ
)
γ
1
ψ
0
(
ξ
) +
β
1
ψ
(
ξ
)
+
H
1
(
ξ
)
ξ
=
ξ
1
.
(35)
В случае отсутствия внутренних источников (стоков) теплоты
(
F
(
ξ
) = 0
), решение (29) принимает более простой вид:
Θ =
C
3
ψ
(
ξ
) +
C
4
ϕ
(
ξ
)
,
(36)
константы
C
3
и
C
4
определяются формулами (30) и (31),
b
1
и
b
3
нахо-
дятся из (32) и (34), а
b
2
и
b
4
определяются из более простых выраже-
ний
b
2
=
f
2
(
Fo
)
γ
2
ϕ
0
(
ξ
) +
β
2
ϕ
(
ξ
)
ξ
=
ξ
2
;
(37)
b
4
=
f
1
(
Fo
)
γ
1
ψ
0
(
ξ
) +
β
1
ψ
(
ξ
)
ξ
=
ξ
1
.
(38)
Если тепловой поток или температура на поверхности тела (гра-
ничные условия (16) и (17)) не изменяются во времени, то функции
f
1
(
Fo
)
и
f
2
(
Fo
)
в формулах (33), (35) и (37), (38) становятся констан-
тами.
Таким образом, процедура определения одномерного стационар-
ного температурного поля в телах простой геометрической формы на
основе полученного обобщенного решения формулируется следую-
щим образом:
1) формулируется математическая модель конкретной краевой за-
дачи теплопроводности;
2) математическая модель представляется в безразмерной форме;
3) сопоставляя модель задачи в безразмерной форме с общей ма-
тематической моделью (15)–(17), записываются значения следующих
величин:
a
ξξ
,
b
ξ
,
c
ξ
,
F
(
ξ
)
,
γ
1
,
γ
2
,
β
1
,
β
2
,
f
1
(
Fo
)
и
f
2
(
Fo
)
;
4) используя формулы (27), (28), (30)–(35), вычисляются константы
интегрирования
C
3
и
C
4
. Для определения функций
ψ
(
ξ
)
и
ϕ
(
ξ
)
может
быть использована таблица или справочники по решению обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
5. Подставляя константы
C
3
,
C
4
, а также функции
ψ
(
ξ
)
,
ϕ
(
ξ
)
,
H
1
(
ξ
)
,
H
2
(
ξ
)
в формулу (29) или (36) получаем решение поставленной задачи.
Пример.
Бесконечно протяженная пластина с равномерно распре-
деленными в ее объеме внутренними источниками теплоты с обеих
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 53
