15 / 20
без использования углов
θ
1
,
θ
2
и
θ
3
, то необходимо разработать иной
алгоритм определения матриц
ˉΛ
и
Λ
∗
, чем приведенный ранее. Ма-
трицу поворота
Λ
∗
получим как матрицу поворота единичного век-
тора
t
= [
t
1
t
2
t
3
]
T
(ось
Ox
1
) на угол
Ψ =
∠
(
Ox
1
, O
ˉ
x
1
)
относительно
некоторого единичного вектора
ξ
= [
ξ
1
ξ
2
ξ
3
]
T
, чтобы ось
Ox
1
совпа-
ла с
O
ˉ
x
1
и вектор
t
совпал с единичным направляющим вектором
ρ
= [
ρ
1
ρ
2
ρ
3
]
T
оси
O
ˉ
x
1
. Координаты вектора
ρ
определяются с по-
мощью уравнения прямой
O
ˉ
x
1
как прямой, проходящей через две
заданные точки
O
и
A
, после нормирования:
ρ
1
=
X
01
(
s
A
)
−
X
01
(
s
O
)
l
;
ρ
2
=
X
02
(
s
A
)
−
X
02
(
s
O
)
l
;
ρ
3
=
X
03
(
s
A
)
−
X
03
(
s
O
)
l
.
Угол поворота
Ψ
найдем из скалярного произведения единичных век-
торов
t
и
ρ
:
cos Ψ =
t
1
ρ
1
+
t
2
ρ
2
+
t
3
ρ
3
.
Координаты вектора
ξ
, вокруг которого осуществляется поворот, опре-
деляются как координаты вектора нормали плоскости
Ox
1
ˉ
x
1
или через
векторное произведение
ξ
=
t
×
ρ
:
ξ
1
=
t
2
ρ
3
−
t
3
ρ
2
;
ξ
2
=
t
3
ρ
1
−
t
1
ρ
3
;
ξ
3
=
t
1
ρ
2
−
t
2
ρ
1
.
Матрица поворота
Ox
1
x
2
x
3
→
O
ˉ
x
1
ˉ
x
2
ˉ
x
3
, учитывающая локальную
кривизну направляющей поверхности, имеет следующий вид:
Λ
∗
=
cos Ψ + (1
−
cos Ψ)
ξ
2
1
(1
−
cos Ψ)
ξ
1
ξ
2
+ (sin Ψ)
ξ
3
(1
−
cos Ψ)
ξ
2
ξ
1
−
(sin Ψ)
ξ
3
cos Ψ + (1
−
cos Ψ)
ξ
2
2
(1
−
cos Ψ)
ξ
3
ξ
1
+ (sin Ψ)
ξ
2
(1
−
cos Ψ)
ξ
3
ξ
2
−
(sin Ψ)
ξ
1
=
⇒
=
⇒
(1
−
cos Ψ)
ξ
1
ξ
3
−
(sin Ψ)
ξ
2
(1
−
cos Ψ)
ξ
2
ξ
3
+ (sin Ψ)
ξ
1
cos Ψ + (1
−
cos Ψ)
ξ
2
3
.
Отсюда определяется матрица
ˉΛ = Λ
∗
Λ
.
Исходные данные для расчета:
R
= 7
м,
λ
= 5
/
2
π
= 0
,
796
м,
V
0
(
t
) = 3
t
+ 7 sin(
t/
2)
м/с,
κ
= 0
,
141
1/м,
æ = 0
,
016
1/м,
ˉ
R
= 0
,
994
,
ˉ
λ
= 0
,
113
,
a
= 1
м,
l
= 2
м,
m
= 100
кг — масса тележки. Коорди-
наты центра тяжести тела (в вертикальной плоскости симметрии) —
r
= [1 0
,
5 0]
T
. Рассматриваемый интервал движения
t
∈
[0
,
20]
с. Чис-
ло разбиений рассматриваемого отрезка времени — 5000. Задача ре-
шалась в двух постановках: без учета локальной кривизны направля-
ющей (расчетный случай 1 — РС № 1), с учетом локальной кривизны
направляющей (расчетный случай 2 — РС № 2). Функция
V
0
(
t
)
была
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 107