9 / 20
отмеченные сверху волной, вычисляются для деформированного тела
и зависят от обобщенных координат в силу того, что от них зависят
функции
˜r = r + u
и
˜
ϕ
i
.
Потенциальная энергия деформации упругого тела записывается в
виде [13]
Π =
1
2
Z
V
(
ε
−
ε
т
)
T
σdV
=
1
2
Z
V
(
ε
−
ε
т
)
T
C(
ε
−
ε
т
)
dV,
где
ε
= [
ε
11
ε
22
ε
33
γ
12
γ
23
γ
31
]
T
,
σ
= [
σ
11
σ
22
σ
33
τ
12
τ
23
τ
31
]
T
— век-
торы, составленные из компонент деформаций и напряжений; вектор
ε
т
представляет начальные нестесненные температурные или техно-
логические деформации;
C
— симметричная матрица коэффициентов
упругости, входящих в уравнения закона Гука.
Вектор массовых сил тяготения вычисляется следующим образом:
g =
−
g
0
ν
;
ν
= Λ [0 1 0]
T
,
(10)
где
g
0
— ускорение свободного падения (модуль вектора
g
0
);
ν
— еди-
ничный вектор, направленный вдоль оси
X
2
неподвижной системы
координат
O
∗
X
1
X
2
X
3
и записанный в проекциях на оси подвижной
системы. Гравитационные силы и моменты (7) с учетом (10) описыва-
ются следующими выражениями:
P
g
=
−
g
0
mν
; M
g
=
−
g
0
∨
˜L
0
ν
;
Q
g
,i
=
−
g
0
˜L
T
i
ν.
В результате получается замкнутая система нелинейных диффе-
ренциальных уравнений: шесть уравнений второго порядка для шести
компонент векторов
P
R
,
M
R
и
n
уравнений для обобщенных коорди-
нат
q
1
, q
2
. . . q
n
.
Если движущееся по направляющему полотну тело и ролики счи-
таются абсолютно жесткими (
q
1
=
q
2
=
. . .
=
q
n
= 0
), то уравнения
(8) упрощаются
m
a
0
−
∨
L
0
˙
ω
−
∨
ω
∨
L
0
ω
= P;
−
∨
L
0
T
a
0
+ I
00
˙
ω
+
∨
ω
I
00
ω
= M
.
(11)
При известных векторах
V
0
,
ω
, полученных при решении кинема-
тической задачи, из уравнений (11) определяются главные вектор
P
и
момент
M
сил реакции и затем — сами реакции.
Учет влияния кривизны полотна между осями.
В задаче, сфор-
мулированной ранее, предполагалось, что расстояние между осями
тележки мало по сравнению с кривизной центральной линии, роли-
ки передней и задней осей в данный момент времени находятся на
прямой, касательной к кривой
R
0
(
s
)
в точке
s
=
s
O
. В случае двух-
осной тележки со свободно поворачивающейся относительно центра
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 101