10 / 20
передней осью при движении по сильно искривленному простран-
ственному полотну ролики задней и передней осей будут находиться
в точках
s
=
s
O
и
s
=
s
A
кривой
R
0
(
s
)
с различными углами на-
клона касательной. Локальная кривизна полотна между осями окажет
некоторое влияние на угловое положение тележки в данный момент
времени и на кинематику и динамику ее движения.
Учтем влияние локальной кривизны направляющей
R
0
(
s
)
между
осями тележки. Введем систему координат
O
ˉ
x
1
ˉ
x
2
ˉ
x
3
, ось
O
ˉ
x
1
которой
проходит через точку
A
, (см. рис. 1). Матрицу перехода от системы
координат
Ox
1
x
2
x
3
к
O
ˉ
x
1
ˉ
x
2
ˉ
x
3
будем обозначать через
Λ
∗
, а матри-
цу перехода от системы координат
O
∗
X
1
X
2
X
3
к
A
ˉ
x
1
ˉ
x
2
ˉ
x
3
— через
ˉΛ
.
Очевидно, что выполняются соотношения
ˉΛ = Λ
∗
Λ
,
Λ
∗
= ˉΛΛ
T
.
Естественная координата
s
A
точки
A
находится из следующего
трансцендентного уравнения при известной координате
s
O
=
t
Z
0
|
V
0
(
t
)
|
dt
:
l
2
= (
X
01
(
s
A
)
−
X
01
(
s
O
))
2
+ (
X
02
(
s
A
)
−
X
02
(
s
O
))
2
+ (
X
03
(
s
A
)
−
X
03
(
s
O
))
2
.
Если кривизна кривой
R
0
(
s
)
небольшая, то можно приближенно по-
лагать, что
s
A
≈
s
O
+
l
.
Введем вектор
Δ ˉR
, который характеризует разность соответству-
ющих координат точек
O
и
A
:
Δ ˉR =
X
01
(
s
A
)
−
X
01
(
s
O
)
X
02
(
s
A
)
−
X
02
(
s
O
)
X
03
(
s
A
)
−
X
03
(
s
O
)
=
Δ ˉ
X
1
Δ ˉ
X
2
Δ ˉ
X
3
.
Углы поворота системы координат
A
ˉ
x
1
ˉ
x
2
ˉ
x
3
будем обозначать как
ˉ
θ
1
=
θ
1
+ Δ
θ
1
; ˉ
θ
2
=
θ
2
+ Δ
θ
2
; ˉ
θ
3
=
θ
3
+ Δ
θ
3
,
(12)
где
Δ
θ
1
,
Δ
θ
2
и
Δ
θ
3
— малые углы (
sinΔ
θ
i
≈
Δ
θ
i
,
cos Δ
θ
i
≈
1
,
i
= 1
,
2
,
3
). При этом с учетом (12) будем иметь
ˉ
s
i
= sin (
θ
i
+ Δ
θ
i
)
≈
s
i
+ Δ
θ
i
c
i
;
ˉ
c
i
= cos (
θ
i
+ Δ
θ
i
)
≈
c
i
−
Δ
θ
i
s
i
.
Заметим, что если угол
Δ
θ
2
немалый, то необходимо, чтобы задняя
ось соединялась с тележкой шарнирно, как и передняя ось. Матрица
перехода
ˉΛ( ˉ
θ
1
,
ˉ
θ
2
,
ˉ
θ
3
)
определяется так же, как матрица
Λ(
θ
1
, θ
2
, θ
3
)
с
заменой
s
i
→
ˉ
s
i
,
c
i
→
ˉ
c
i
. С точностью до линейных членов c
Δ
θ
1
,
Δ
θ
2
и
Δ
θ
3
получим
ˉΛ = Λ +
∂
Λ
∂θ
1
Δ
θ
1
+
∂
Λ
∂θ
2
Δ
θ
2
+
∂
Λ
∂θ
3
Δ
θ
3
,
(13)
102 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2