5 / 20
на оси подвижной системы координат
u
1
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
,
u
2
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
,
u
3
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
через квадратично нелинейные соотношения [7, 8]:
ε
11
=
∂u
1
∂x
1
+
1
2
"
∂u
2
∂x
1
2
+
∂u
3
∂x
1
2
#
;
. . .
;
γ
12
=
∂u
1
∂x
2
+
∂u
2
∂x
1
+
∂u
3
∂x
1
∂u
3
∂x
2
;
. . . ,
которые справедливы при
∂u
1
/∂x
1
1
,
(
∂u
1
/∂x
2
)
2
1
, . . . ;
(1
→
2
→
3
→
1)
.
Введем векторные обозначения:
r = [
x
1
x
2
x
3
]
T
,
u = [
u
1
u
2
u
3
]
T
,
˜r = r + u
,
R = R
0
+ Λ
T
r
, где
Λ
— матрица перехода от систе-
мы
O
∗
X
1
X
2
X
3
к системе
Ox
1
x
2
x
3
(
Λ
−
1
= Λ
T
). Вращение системы
Ox
1
x
2
x
3
относительно
O
∗
X
1
X
2
X
3
будем характеризовать заданными
самолетными углами
θ
1
,
θ
2
и
θ
3
, представляющими собой соответ-
ственно углы крена, рыскания и тангажа, с последовательностью по-
воротов
θ
2
→
θ
3
→
θ
1
. Вектор углов поворота будем обозначать через
θ
= [
θ
1
θ
2
θ
3
]
T
. Матрица
Λ
записывается в виде [1, 7, 8]
Λ =
c
2
c
3
s
3
−
s
2
c
3
s
1
s
2
−
c
1
c
2
s
3
c
1
c
3
s
1
c
2
+
c
1
s
2
s
3
c
1
s
2
+
s
1
c
2
s
3
−
s
1
c
3
c
1
c
2
−
s
1
s
2
s
3
,
где
s
k
≡
sin
θ
k
,
c
k
≡
cos
θ
k
(
k
= 1
,
2
,
3
). Поскольку ось
Ox
1
подвижной
системы координат в рассматриваемом приближении является каса-
тельной к
R
0
(
s
)
в точке
s
O
, углы поворота
θ
2
и
θ
3
выражаются через
проекции вектора
R
0
(
s
)
с помощью дифференциальных соотношений
[9–11]:
dX
01
ds
=
c
2
c
3
;
dX
02
ds
=
s
3
;
dX
03
ds
=
−
s
2
c
3
,
а угол
θ
1
(
s
)
задается независимо.
Вектор мгновенной угловой скорости
ω
= [
ω
1
ω
2
ω
3
]
T
подвижной
системы координат
Ox
1
x
2
x
3
выражается через вектор углов поворота
θ
как [1, 7, 8]:
ω
= A ˙
θ
; A =
1
s
3
0
0
c
1
c
3
s
1
0
−
s
1
c
3
c
1
.
При решении геометрически нелинейных задач по методу Ритца
или по методу конечных элементов перемещение упругого тела в
общем случае может быть представлено в виде [7, 8]
u =
X
i
q
i
ϕ
i
+
+
1
2
X
i
X
j
q
i
q
j
ψ
ij
,
где
q
i
(
t
)
— обобщенные координаты;
i, j
=1
,
2
, . . . , n
;
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 97