7 / 20
Получим нелинейные уравнения динамики рассматриваемой си-
стемы для наиболее общего случая, учитывая относительное движе-
ние, обусловленное упруговязким деформированием роликов и конеч-
ными деформациями присоединенного упругого тела.
Уравнения движения системы для заданных векторов
V
0
,
ω
и обоб-
щенных координат
q
i
составляются на основе принципа Даламбера –
Лагранжа как для свободной системы с освобожденными связями,
включая неизвестные реакции в число внешних сил:
δ
Π =
δA
P
+
δA
ин
,
(1)
где
Π[u]
— потенциальная энергия деформации системы;
δA
P
— ва-
риация работы гравитационных сил, силы тяги
P
0
и реакций
P
1
. . . P
5
со стороны полотна, приложенных в точках с координатами
x
1
ν
,
x
2
ν
,
x
3
ν
;
δA
ин
— вариация работы инерционных сил. Выражения для
δA
P
и
δA
ин
имеют следующий вид:
δA
P
=
Z
V
δ
u
T
∗
g
dm
+
5
X
ν
=0
δ
u
T
∗
(
x
1
ν
, x
2
ν
, x
3
ν
)
P
ν
;
(2)
δA
ин
=
−
Z
V
δ
u
T
∗
a
dm,
(3)
где
δ
u
∗
— вариация перемещения любой точки тела с учетом вариаций
смещения
δ
u
0
= Λ
δ
R
0
и малого поворота
δθ
подвижной системы
координат
δ
u
∗
=
δ
u
0
+
δθ
×
˜r +
δ
u;
(4)
g
— вектор массовых сил тяготения (будет определен позднее);
dm
=
ρdV
— масса элемента тела, сохраняющая свою величину в
процессе его деформирования;
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
— плотность тела;
dV
—
элемент объема тела. Из выражения для вектора
u
с учетом
ψ
ij
=
ψ
ji
получим
δ
u =
X
i
δq
i
˜
ϕ
i
; ˙u =
X
i
˙
q
i
˜
ϕ
i
;
¨u =
X
i
¨
q
i
˜
ϕ
i
+
X
i
X
j
˙
q
i
˙
q
j
ψ
ij
; ˜
ϕ
i
=
ϕ
i
+
X
j
q
j
ψ
ij
.
(5)
Поскольку вариации
δ
u
0
,
δθ
и
δq
i
произвольны и независимы, из
принципа Даламбера – Лагранжа (1) с учетом (2)–(5) следуют уравне-
ния движения:
Z
V
a
dm
= P;
Z
V
∨
˜r a
dm
= M;
Z
V
˜
ϕ
T
i
a
dm
+
∂
Π
∂q
i
=
Q
i
, i
= 1
,
2
, . . . , n,
(6)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 99