6 / 20
ϕ
i
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
ψ
ij
(
x
1
, x
2
, x
3
)
— заданные вектор-функции, которые вы-
бираются в классе возможных перемещений тела согласно принятой
расчетной модели (стержень, пластина и др.) с учетом определен-
ных допущений. Функции
ψ
ij
выражаются через
ϕ
i
и
ϕ
j
и являются
симметричными, т.е.
ψ
ij
=
ψ
ji
. Обобщенные координаты
q
i
(
t
)
при
i
= 1
,
2
, . . . , n
— упругие деформации тела.
Скорость и ускорение произвольной точки
M
упругого тела, свя-
занного с подвижной системой координат
Ox
1
x
2
x
3
записываются в
виде
V = V
0
+
ω
×
˜r + ˙u; a
0
= ˙V
0
+
ω
×
V
0
;
a = a
0
+ ˙
ω
×
˜r +
ω
×
(
ω
×
˜r) + 2
ω
×
˙u + ¨u
,
где
a
0
— вектор ускорения точки
O
. Вектор угловой скорости
ω
и его
производная по времени
˙
ω
находятся из следующих соотношений:
ω
= A
dθ
ds
|
V
0
|
;
˙
ω
=
d
A
ds
dθ
ds
+ A
d
2
θ
ds
2
V
2
0
+ A
dθ
ds
˙V
0
.
Для удобства записи векторное произведение заменяется матричным:
a
×
b =
∨
a b; a =
a
1
a
2
a
3
; b =
b
1
b
2
b
3
;
∨
a =
0
−
a
3
a
2
a
3
0
−
a
1
−
a
2
a
1
0
.
Если движущееся по направляющему полотну тело, связанное с по-
движной системой координат
Ox
1
x
2
x
3
, является абсолютно жестким,
а ролики — недеформируемыми, то задача в заданный момент време-
ни
t
является задачей кинематики. Тогда после определения ускорения
a(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
из уравнений динамического равновесия твердого тела с
учетом силы тяжести находят главные вектор
P
и момент
M
реакций
и затем — сами реакции. После этого можно выполнить расчеты на
прочность конструкции тележки и всего сооружения вместе с полот-
ном и опорными устройствами.
Если учитывается относительное движение, представленное векто-
ром перемещений
u(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
, обусловленное упругостью роликов
и амортизации, а также упругим деформированием присоединенных
к тележке масс, то задача существенно усложняется. При заданных
векторных функциях
R
0
(
s
)
,
θ
(
s
)
, скорости
V
0
(
t
)
и найденной вектор-
ной функции
ω
(
t
)
задача сводится к задаче динамики относительного
движения для обобщенных координат, характеризующих неизвестную
векторную функцию
u(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
.
Нелинейные уравнения относительного движения.
Разреша-
ющие уравнения динамики тела, движущегося по произвольной по-
верхности, можно получить по аналогии с уравнениями возмущенного
движения упругих летательных аппаратов по заданной программной
траектории [1, 7, 8, 12].
98 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2